Maths au quotidien : l’hôtel infini, voyage dans un paradoxe

Juste pour le plaisir de l’esprit …

Soyons fous cette année pour les vacances, ouvrons un hôtel infini. Oui, vous avez bien lu, un hôtel hypothétique avec une infinité dénombrable de chambres. Un ensemble infini est dit dénombrable, lorsque ses éléments peuvent être listés sans omission ni répétition dans une suite indexée par les entiers. Dès lors on peut numéroter les chambres : chambre 1, chambre 2, et ce jusqu’à l’infini. Chaque chambre accueille un seul voyageur.

Cette expérience de pensée illustre surtout les problèmes que nous avons à gérer l’infini, en nous forçant à abandonner nos habitudes de dénombrement dans les ensembles finis.

Article source : L’hôtel infini, voyage dans un paradoxe
Publié sur TheConversation le 13 août 2020

Mathématiques : des infinis multiples et de taille différente

Autre article pour secouer les neurones…

Révolution dans les mathématiques ! À la fin du 19e siècle, Georg Cantor démontre que les réels ne sont pas dénombrables, ouvrant ainsi la voie à une infinité d’infinis

Savez-vous compter ?

La question peut paraître un tantinet impertinente…
Mais vous êtes-vous déjà demandé ce que signifie réellement le mot « compter » ou son synonyme « dénombrer » ? Pour essayer d’avancer sur cette question, souvenons-nous de nos premiers comptages : par exemple, pour connaître le nombre de lettres du mot AIMER, nous avons énuméré celles-ci en levant successivement les doigts : la lettre A correspond au pouce, le I à l’index, le M au majeur, le E à l’annulaire et enfin le R à l’auriculaire. Nous avons appris que si notre algorithme se terminait par l’auriculaire, la quantité recherchée était égale à cinq.

Article : Des infinis multiples et de taille différente
Publié sur Science & Avenir le 15/08/2020 par Roger Mansuy

Sun Tzu et l’Armée : Les Dix Commandements d’une Gouvernance de Crise

L’Art de Conduire les Hommes face au Péril

Sun Tzu ou Sun Tse ou Sun Zi ou encore Souen Tseu est un général chinois du VIe siècle av. J.-C. (544-496 av. J.-C.).

Il est surtout célèbre en tant qu’auteur de l’ouvrage de stratégie militaire le plus ancien connu : L’Art de la guerre. L’idée principale de son œuvre est que l’objectif de la guerre est de contraindre l’ennemi à abandonner la lutte, y compris sans combat, grâce à la ruse, l’espionnage, une grande mobilité et l’adaptation à la stratégie de l’adversaire. Tous ces moyens doivent ainsi être employés afin de s’assurer une victoire au moindre coût (humain, matériel). Il inaugure ainsi la théorie de l’approche indirecte1.

Les idées de L’Art de la guerre ont été reprises et adaptées par différents auteurs pour la stratégie et notamment la stratégie d’entreprise. Dans un sens plus large, L’Art de la guerre peut être interprété comme une méthode de résolution des conflits.

Voyons l’application de ces principes au management.

Conduire ses Troupes : Les Dix Commandements

De la Doctrine et des Institutions
‘La force d’une institution dans ses croyances, ses valeurs communes et ses mœurs.’

On ne mobilise pas une communauté sans de solides convictions assorties d’objectifs clairs et rassembleurs et des institutions compétentes, justes et préparées car, une conquête victorieuse ne peut avoir pour ressort principal qu’une doctrine politique déterminée, raisonnée et maîtrisée.

La doctrine politique fait naître l’unité de pensée ; L’harmonie est la cohésion des valeurs partagées entre la population et ses dirigeants, supérieurs et inférieurs ; elle inspire la confiance de ces derniers à partager un même destin avec leurs chefs dans la vie comme dans la mort.
Ici, le terme ‘doctrine’ peut aussi être interprété par ‘idéologie’ ou ‘force morale’. La force d’une nation se reflète au travers de valeurs communes essentielles au confucianisme teinté de légalisme – telle une colonne vertébrale vertueuse -, partagées par un peuple et ses institutions. Ces valeurs fondamentales sont : « la responsabilité avant la liberté, le devoir avant les droits, la communauté avant l’individu, l’harmonie avant le conflit. » Les concepts suivants illustrent ces valeurs et ces facteurs comme un Tout essentiel à la bonne prédisposition et à la conduite d’une entreprise (engagement-projet). Une maxime illustre ce concept : « Qui a confiance, ni ne craint, ni ne trahit. »

Du Commandement et de l’Organisation interne

Le commandement : extension naturelle du domaine doctrinal dans sa pratique, reflète les qualités essentielles d’une autorité à toutes les échelles de ses institutions dans la gouvernance de ses sujets. Ce sont aussi les cinq vertus confucéennes principales de sagesse, probité, humanité, courage et rigueur. La notion de ‘sévérité’ est le pivot légiste nécessaire dans toute organisation – surtout militaire -, afin d’imposer la discipline collective et le respect par la crainte d’un châtiment.

Il faut entendre par commandement les qualités de sagesse et d’humanité, d’impartialité et de sévérité, de courage et de résolution envers ceux qui nous sont soumis. Vertus essentielles pour l’acquisition desquelles le général et ses commandants ne doivent rien négliger.

Un général habile regarde son armée comme un seul homme qu’il se charge de conduire, car il lui incombe de rassembler ses troupes pour les jeter au cœur du danger. Un maître de guerre réuni ainsi ses troupes parce qu’elles ne peuvent faire autrement.

Une armée peut connaître six infortunes : la fuite, l’insubordination, l’enlisement, l’effondrement, la confusion et la déroute, mais aucun de ces désastres ne peut être attribué à des causes naturelles ; sinon aux seules erreurs de commandement :

Il commande par ignorance des manœuvres d’avance et de recul impraticable ou au moment inopportun ; il trouble l’esprit des officiers et les désoriente en s’imposant dans l’administration des trois armes alors qu’il en ignore tout ; il sème la défiance et démoralise les hommes en cherchant à s’immiscer dans la répartition des rangs, ignorant les compétences et la distribution des responsabilités sans ne rien connaître à l’exercice du commandement.
Lorsque le général est moralement faible et son autorité manque de rigueur, que ses ordres ne sont pas éclairés ou suffisamment précis, ni appuyés par des règles de commandement fermes, l’armée est désorientée et confuse.

De la Méthode : Tactique et Stratégie

Un objectif et 1000 méthodes pour y parvenir. Le Sun Tzu nous apprend à intégrer la relativité de ces deux termes car, face à une crise ou la survenance d’un risque, la ‘grande stratégie’ ploie comme un roseau devant l’urgence d’un impact imminent. Alors une organisation doit faire montre de flexibilité et réadapter ses compétences opérationnelles aux priorités d’urgence. Les compétences managériales doivent évoluer avec les situations.

Il y a déroute quand le général oppose des troupes faibles face à des fortes, des effectifs insuffisants face à des forces importantes ou omet de positionner ses troupes de choc à l’avant-garde.
L’usage judicieux des forces conventionnelles et non-conventionnelles dans leurs emplois combinés d’actions tactiques régulières et subversives, permet aux combattants d’une armée de mieux absorber les chocs adverses et de soutenir sans défaite les attaques ennemies. La connaissance du vide et du plein leur confère, au point d’impact, la force maîtrisée d’une meule écrasant des œufs.
Le stratège maîtrise ces forces et sait user de moyens réguliers et conventionnels au moment de l’engagement et recourir aux forces non-conventionnelles et aux moyens extraordinaires pour remporter la victoire.

De la Psychologie : Du Moral & du Mental des Troupes
Du moral des troupes : les conditions d’unité préservées.

On traverse les épreuves avec l’espoir de jours meilleurs ; crises et menaces, dangers et souffrances sont le prix de la valeur des conditions de paix durables ; encore faut-il savoir motiver ses troupes en gagnant leurs cœurs et en les enflammant d’une ardeur combative.

Un pays dont l’armée est désemparée et traverse une crise de confiance sera victime de tentatives de subversion de la part de ses rivaux. C’est là le sens du proverbe : « la confusion et le désordre dans une armée offre la victoire à l’adversaire. »
Quand, sans avantage stratégique particulier, on combat à un contre dix, il y aura fuite ;
Lorsque les troupes sont fortes et les officiers faibles, il y aura désobéissance et insubordination ;
Lorsque les officiers sont courageux et les troupes inefficaces, l’armée connaît la détresse ;
Le Sun Tzu propose une gouvernance à la fois ferme et souple qui caractérise l’approche confucéenne à la gestion éclairée d’une Nation par son prince : une forme de combinaison raisonnée de bienveillance et de discipline. On peut y ajouter : « Tirez-les promptement de cet état d’assoupissement et de léthargie, donnez-leur des festins, faites-leur entendre le bruit du tambour et des autres instruments militaires. Donnez-leur des occupations, exercez-les, faites-leur faire des évolutions, menez-les même dans des lieux difficiles, où elles aient à travailler et à souffrir. Il faut savoir les charger, mais non pas jusqu’à les accabler ; il faut même les forcer, mais avec discernement et mesure. » Pendant les trêves, on stimule le moral et l’ardeur des troupes en s’assurant qu’elles soient bien nourries et reposées.

De la Discipline : De l’Instruction à l’Exécution

Là où la discipline est la mieux respectée et les instructions les mieux exécutées…

– lorsque les officiers supérieurs sont furieux et insubordonnés et que, face à l’ennemi ils se précipitent aveuglément sans attendre les ordres dans la bataille, sans réfléchir aux conséquences, l’armée s’effondre ;
– S’assurer d’une discipline sans faille ; d’instructions claires et justifiées ; d’ordres efficaces et parfaitement exécutées, afin d’éviter désobéissances et indiscipline car, on instruit les hommes par les institutions civiles, on les unit par la discipline militaire.
– Si vous ne maintenez une exacte discipline dans votre armée, si vous ne punissez pas exactement jusqu’à la moindre faute, vous ne serez bientôt plus respecté, votre autorité même en souffrira, et les châtiments que vous pourrez employer dans la suite, bien loin d’arrêter les fautes, ne serviront qu’à augmenter le nombre des coupables.

Or si vous n’êtes ni craint ni respecté, si vous n’avez qu’une autorité faible, et dont vous ne sauriez vous servir sans danger, comment pourrez-vous être avec honneur à la tête d’une armée ? Comment pourrez-vous vous opposer aux ennemis de l’État ?
De l’Entraînement : le Conditionnement aux Bons Réflexes
La coordination des Corps (signaux – communication), l’entraînement et la logistique (approvisionnements) sont ces ‘détails’ qui jusqu’aux plus petits rouages d’une organisation font souvent toute la différence.

On évalue l’armée la plus puissante par la compétence de ses chefs, les hommes les mieux entraînés et les plus aguerris.
La qualité d’une organisation procède au premier chef des qualités humaines de ses commandants dans la chasse constante à toutes nuisances qualitatives face aux différents types de risques : oubli, déni, indifférence, incompétence, ignorance et négligence. Prévoyance, sécurité et sûreté ne sont pas des coûts intermittents, mais des investissements vitaux pour une collectivité. “They say that nobody is perfect. Then they tell you practice makes perfect. I wish they’d make up their minds.” (Winston S. Churchill)

Des Récompenses et des Châtiments

L’armée qui possède le système de récompenses le plus efficace sait aussi sanctionner avec le plus de discernement.

L’excès de récompenses et de punitions montre que le commandement est au bout de ses ressources, et dans une grande détresse ; si l’armée va même jusqu’à se saborder et briser ses marmites, c’est la preuve qu’elle est aux abois et qu’elle se battra jusqu’à la mort.

En incitant la rage, le général incite ses hommes à commettre des massacres et des destructions inutiles. Préférez l’appât du gain par la promesse de récompenses en les incitant à attaquer l’ennemi pour s’emparer de ses ressources. L’ennemi est ainsi pillé et appauvri par convoitise de ses richesses.
Pour les grands généraux, les usages protocolaires et les codes n’ont guère de place quand il s’agit de dispenser les récompenses à la hauteur des ordres exceptionnels demandés aux hommes au-delà de la discipline ordinaire. La reconnaissance des valeurs est souvent le chaînon manquant de nombre de Dirigeants.

Du Renseignement

On ne se prépare pas sans renseignements préalables…

Être plusieurs années à faire face à des ennemis dont on ignore les desseins et la situation en reportant constamment les actions décisives parce que le général rechigne à accorder les moyens nécessaires à favoriser et recueillir des renseignements, alors ce général est un monstre d’inhumanité qui ne mérite ni de commander une armée ni de seconder son souverain.

L’armée ayant pour elle l’avantage des connaissances des conditions du temps (météorologie) et de l’espace (terrain) les plus favorables pour engager les mouvements et choisir les itinéraires les plus adéquats.

Un Général stratège doit connaître parfaitement le terrain et sa topographie avant d’y conduire son armée ; afin d’en tirer parti au mieux il recourt aux services de guides locaux et d’éclaireurs. Qui néglige un seul de ces points, n’est pas digne de conduire une armée.

C’est en cela qu’on reconnaîtra en vous la puissance dans votre art de créer et d’exploiter chaque configuration tactique en employant les justes forces en qualité et en quantité.

Commencez par vous mettre au fait de tout ce qui concerne les ennemis ; sachez exactement tous les rapports qu’ils peuvent avoir, leurs liaisons et leurs intérêts réciproques ; n’épargnez pas les grandes sommes d’argent ; n’ayez pas plus de regret à celui que vous ferez passer chez l’étranger, soit pour vous faire des agents locaux, soit pour vous procurer des connaissances exactes, qu’à celui que vous emploierez pour la paie de ceux qui sont enrôlés sous vos étendards : plus vous dépenserez, plus vous gagnerez ; c’est un argent que vous placez pour en retirer un gros intérêt.
De l’Anticipation : Préparer
« … vous ne formerez aucune entreprise, sans la conduire à une heureuse fin. Vous verrez ce qui sera loin de vous comme ce qui se passera sous vos yeux, & ce qui se passera sous vos yeux, comme ce qui en est le plus éloigné. » (Amiot)

Lors des préparations avant l’ouverture des hostilités, les calculs et supputations laissent présager une victoire quand les avantages sont réunis ; dans le cas contraire, la défaite est envisageable. En se livrant à de nombreux calculs, on peut ainsi réduire ses marges d’erreur et consolider ses chances de victoire. Qui les néglige, s’engage en terrain inconnu et réduit ses chances d’autant. C’est par ces considérations qu’il faut examiner la situation, et l’issue apparaîtra clairement.

Une armée victorieuse remporte l’avantage avant même d’avoir cherché la bataille ; une armée est vouée à la défaite si elle cherche la bataille avant de vaincre.

Savoir être prévoyant et savoir correctement estimer la situation en concentrant ses forces pour attirer à soi vos adversaires au moment propice et à l’endroit voulu.
Des Vertus et des Qualités d’un Commandement
Toutes les vertus n’ont qu’un seul but : créer les conditions favorables d’une confiance absolue entre commandants et commandés afin de guider une armée telle un seul homme ; le général incarne ainsi à la fois les fonctions de guide suprême et maître d’oeuvre des conditions de la victoire. Sa première vertu est probablement celle de l’humilité en ne sous-estimant jamais son adversaire.

En matière martiale, le grand nombre seul ne confère pas l’avantage ; n’avancez jamais en comptant sur la seule puissance militaire. Une armée composée des mêmes hommes peut être très méprisable commandée par tel général, tandis qu’elle sera invincible commandée par tel autre.

C’est pourquoi un habile commandant recherche la victoire en tenant compte de la situation et ne l’exige pas de ses subordonnés. Il sait ainsi en fonction des dispositions, choisir ses meilleurs hommes afin de tirer parti de la situation. Un habile commandant tient compte de la situation et sait employer ses hommes au combat avec les mêmes lois physiques qui s’appliquent à la puissance croissante de pierres rondes ou de billes de bois dévalant les pentes abruptes des sommets d’une montagne.

En Conclusion :

De ces dix commandements, un commandant qui n’entend pas appliquer ces connaissances sera régulièrement vaincu.

Telles sont les attentions que vous devez à toutes les démarches, tant les vôtres que celles de vos adversaires. Une telle minutie dans les détails peut paraître superflue, mais elle procède d’un constat : que rien de tout ce qui peut contribuer à vous faire triompher n’est négligeable.
En matière de Management de crise et de Gestion des risques, préparez-vous à ne jamais laisser le diable s’emparer des détails…

Les probabilités n’existent pas… mais on vous explique quand même comment vous en servir

Un excellent article publié sur The Conversation :

Nous devons chaque jour, dans notre vie personnelle ou professionnelle, prendre des décisions tout en n’ayant qu’une connaissance partielle des informations relatives à la situation : si je choisis cet itinéraire, vais-je me retrouver bloqué dans un embouteillage et arriver en retard ? Dans quelle station-service sur ma route le carburant sera-t-il le moins cher ? Ce chapitre du programme que je n’ai pas encore révisé a-t-il des chances de tomber à l’examen ?

Les exemples sont innombrables où, consciemment ou non, nous parions quotidiennement sur des événements dont nous ne savons pas s’ils vont se réaliser ou non. Dans de telles situations, nous ne pouvons donc pas être certains de faire le bon choix : au final, le résultat relèvera aussi du hasard. Malgré cette part d’incertitude, il nous faut tenter d’optimiser nos chances de succès, et cela passe par le calcul ou l’estimation de la probabilité des événements incertains. Cette probabilité est un nombre entre 0 et 1, d’autant plus proche de 1 que l’événement a des chances de se produire. Mais quels sont les mécanismes mis en jeu dans le calcul de ce nombre ?

Le mathématicien Bruno de Finetti (1906-1985) a passé sa vie à étudier la théorie des probabilités, dont il était un grand spécialiste. Pourtant il clame dans un ouvrage qui leur est consacré que « Les probabilités n’existent pas ! »

Voilà qui commence mal : comment pouvons-nous mettre en pratique la théorie de quelque chose qui n’existe pas ? En fait, par cette provocation, de Finetti voulait souligner que la probabilité d’un événement n’est pas une réalité objective : elle dépend de la personne qui l’estime et évolue en fonction des informations que celle-ci reçoit. Voyons cela concrètement sur un exemple.

Le « problème de Monty Hall »

Le « problème de Monty Hall » se présente sous la forme d’un jeu de hasard inspiré de l’émission télévisée américaine Let’s make a deal (dont Monty Hall était le présentateur). Le candidat a devant lui trois portes fermées, notées A, B, C, derrière lesquelles sont cachées deux chèvres et une voiture réparties au hasard. Son but est de trouver la porte dissimulant la voiture. Il commence par désigner l’une des trois portes, sans l’ouvrir (disons que c’est la porte A). Le présentateur, qui connaît la répartition, annonce alors qu’il va montrer une chèvre cachée derrière l’une des deux autres portes (c’est toujours possible : puisqu’il n’y a qu’une voiture, au moins une des deux autres portes cache une chèvre). Après avoir ainsi dévoilé une chèvre (disons derrière la porte B), il demande au candidat si celui-ci maintient son choix initial, ou si il préfère aller vers l’autre porte encore fermée (la porte C dans notre exemple). À votre avis, le candidat a-t-il intérêt à changer de porte ?

Au départ du jeu, le candidat ne sait strictement rien sur la position de la voiture et des deux chèvres. Lorsqu’il choisit sa première porte, il a donc une chance sur trois d’avoir choisi celle qui cache la voiture. Mais en montrant la chèvre derrière la porte B, le présentateur apporte une nouvelle information au candidat : ce dernier, qui ignorait tout au début, sait maintenant que la porte B dissimulait une chèvre. En quoi cette nouvelle donnée pourrait-elle l’amener à réviser son choix initial ?

À ce point deux raisonnements s’opposent qui aboutissent à deux conclusions contradictoires. Voici la première façon d’aborder le problème : il reste deux portes fermées, A et C, l’une cache une chèvre et l’autre une voiture. Il y a alors une chance sur deux que la voiture soit derrière la porte A, et donc le candidat aurait autant de chances de gagner en gardant la porte A qu’en choisissant la C. Mais le second raisonnement consiste à remarquer que la voiture n’a pas changé de place depuis le début du jeu. Comme il y avait une chance sur trois qu’elle soit derrière la porte A, elle a maintenant deux chances sur trois d’être cachée derrière la porte C. Selon ce second raisonnement, le candidat doublerait ses chances de gagner en changeant de porte. Quel est parmi ces deux arguments celui qui fournit la bonne stratégie pour le candidat ?

On trouve très facilement en ligne des simulations du jeu, et nous l’avons expérimenté en situation réelle lors de la Fête de la Science avec un grand nombre de visiteurs. Les résultats sont sans appel : lorsque le candidat conserve la porte qu’il avait choisie initialement, il gagne environ dans 33 % des cas, alors que la stratégie de changer de porte aboutit à environ 66 % de succès. C’est donc bien le second raisonnement qui semble être correct. Mais alors, qu’est-ce qui cloche dans le premier ?

Ndlr : Vive les émissions de jeux américaines !

La suite sur :

Les probabilités n’existent pas… mais on vous explique quand même comment vous en servir
Publié sur The Conversation le 20 juin 2021.

Les maths existaient-elles déjà dans la nature bien avant l’être humain?

Un petit texte pour réfléchir (un peu) :

L’œuf ou la poule? Les maths ou l’humain? Il semblerait que les premières précèdent le second.

Généralement, les maths sont perçues comme un outil créé par l’être humain pour mieux décrire son environnement ou construire sa table IKEA un dimanche après-midi pluvieux. Mais pour certains, les mathématiques constituent préalablement notre monde, ce sont des règles simples que la nature suit. «Si les mathématiques expliquent tant de choses que nous voyons autour de nous, alors il est peu probable que les mathématiques soient quelque chose que nous avons créé», avance le philosophe Sam Baron de l’Australian Catholic University.

C’est ce que pensait également Pythagore (vers 575-475 avant J.-C.). Le philosophe grec fut le premier à identifier les mathématiques comme l’un des deux langages pouvant expliquer l’architecture de la nature –l’autre étant la musique. En tout cas 2.000 ans plus tard, cette théorie anime toujours les scientifiques qui tentent de découvrir et d’expliquer les modèles mathématiques qui apparaissent dans la nature.

L’article complet : Les maths existaient-elles déjà dans la nature bien avant l’être humain?
Publié sur Slate le 6 janvier 2022 par Juliette Soudarin